已知M是△ABC内一点，且∠BMC=90°+12∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是△ABC内切圆的圆心．

Question

已知M是△ABC内一点，且∠BMC=90°+(1)/(2)∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是△ABC内切圆的圆心．

Answer 1

证明：如图，设∠BAC=2α，则∠BMC=90°+α，
∠BOC=2∠BPC=2（180°-∠BMC）=2[180°-（90°+α）]=180°-2α，
∴∠BAC+∠BOC=180°，∴A、B、O、C四点共圆，
于是∠ABC=∠AOC=2∠MPC，
∵∠MPC=∠MBC，∴∠ABC=2∠MBC，
即(1)/(2)∠ABC=∠MBC，∴BM平分∠ABC．
同理可证CM平分∠ACB，
∴点M是△ABC的内心．