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如图,PQ=3,以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.则AB=.

题目详情
如图,PQ=3,以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.则AB=______.
▼优质解答
答案和解析
设大圆的圆心为M点,连接MA,MP,MB,连接PM并延长与AB交于点E,交小圆于Q点,
由对称性可知P、Q为切点,E为AB的中点;
设AB=2a(正方形的边长),在直角三角形MAE中,
∵小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.
∴PQ⊥CD,
∵CD∥AB,
∴PE⊥AB,
∴AE=BE,
∴AM2=ME2+AE2
∵PQ=3,
∴ME=2a+3-5=2a-2,
∴52=(2a-2)2+a2
解得,a=3或-1.4(舍去)
所以AB=6.