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如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E
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如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
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(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
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(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:∵P-ABC为正三棱锥,且D为顶点P在平面ABC内的正投影,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/13/1534169383-5735.jpg)
∴PD⊥平面ABC,则PD⊥AB,
又E为D在平面PAB内的正投影,
∴DE⊥面PAB,则DE⊥AB,
∵PD∩DE=D,
∴AB⊥平面PDE,连接PE并延长交AB于点G,
则AB⊥PG,
又PA=PB,
∴G是AB的中点;
(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.
∵正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,
∴PB⊥PA,PB⊥PC,
又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,
即点F为E在平面PAC内的正投影.
连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.
由(Ⅰ)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=
CG.
由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=
PG,DE=
PC.
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PG=3
,PE=2
.
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
所以四面体PDEF的体积V=
×DE×S△PEF=
×2×
×2×2=
.
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∴PD⊥平面ABC,则PD⊥AB,
又E为D在平面PAB内的正投影,
∴DE⊥面PAB,则DE⊥AB,
∵PD∩DE=D,
∴AB⊥平面PDE,连接PE并延长交AB于点G,
则AB⊥PG,
又PA=PB,
∴G是AB的中点;
(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.
∵正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,
∴PB⊥PA,PB⊥PC,
又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,
即点F为E在平面PAC内的正投影.
连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.
由(Ⅰ)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=
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由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=
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由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PG=3
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在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
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