如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）写出图中所有的等腰三角形，不需证明；（2）请你判断AD与BE是否垂直，并说明理由；（3）如果BC=12

Question

如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．

（1）写出图中所有的等腰三角形，不需证明；
（2）请你判断AD与BE是否垂直，并说明理由；
（3）如果BC=12，求AB+AE的长．

Answer 1

（1）△ABC、△ABD、△AED、△EDC；
（2）AD⊥BE．
理由：在△ABE和△DBE中，

∠BAE=∠BDE

BE=BE

∠ABE=∠DBE

，
∴△ABE≌△DBE（ASA）．
∴AE=DE，AB=BD，
∴B和E在AD的中垂线上．
∴AD⊥BE；
（3）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴直角△EDC是等腰直角三角形，
∴DE=AE．
∴AB+AE=BD+DE=BD+DC=BC=12（cm）．

∠BAE=∠BDE

BE=BE

∠ABE=∠DBE

∠BAE=∠BDE

BE=BE

∠ABE=∠DBE

∠BAE=∠BDE

BE=BE

∠ABE=∠DBE

∠BAE=∠BDE

BE=BE

∠ABE=∠DBE

∠BAE=∠BDE

BE=BE

∠ABE=∠DBE

∠BAE=∠BDEBE=BE∠ABE=∠DBE∠BAE=∠BDE∠BAE=∠BDE∠BAE=∠BDEBE=BEBE=BEBE=BE∠ABE=∠DBE∠ABE=∠DBE∠ABE=∠DBE，
∴△ABE≌△DBE（ASA）．
∴AE=DE，AB=BD，
∴B和E在AD的中垂线上．
∴AD⊥BE；
（3）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴直角△EDC是等腰直角三角形，
∴DE=AE．
∴AB+AE=BD+DE=BD+DC=BC=12（cm）．