证明:群G为一交换群当且仅当映射x到x的逆是一同构映射

Question

证明:群G为一交换群当且仅当映射x到x的逆是一同构映射

Answer 1

见到群论的题就觉得很亲切
证明：
1、设G为交换群,σ：x→x^(-1),下证σ为同构映射
(1)任取a,b∈G,且a≠b,则σ(a)=a^(-1)≠b^(-1)=σ(b),则σ为单射；
(2)任取b∈G,由于b=(b^(-1))^(-1),因此σ(b^(-1))=b,则σ为满射；
(3)任取a,b∈G,σ(ab)=(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)=a^(-1)b^(-1)=σ(a)σ(b)
综上,σ为同构映射；
2、若σ：x→x^(-1)为一同构映射
任取a,b∈G,则σ(a^(-1))=a,σ(b^(-1))=b
ab=σ(a^(-1))σ(b^(-1))=σ(a^(-1)b^(-1))=σ((ba)^(-1))=ba
因此G为交换群.
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