双射设R为实数集合,定义f:R*R->R*R为f((x,y))=(x+y,x-y),证明f是双射

Question

双射
设R为实数集合,定义f:R*R->R*R为f((x,y))=(x+y,x-y),证明f是双射

Answer 1

对任意的（x,y))∈R*R,f((x,y))=(x+y,x-y),
假设存在另一(x1,y1,)满足f((x1,y1))=(x1+y1,x1-y1)=(x+y,x-y),
即:x1+y1=x+y,x1-y1=x-y
解这个关于x1,y1的线性方程组 x1=x,y1=y
所以f是入射
对任意的(x,y)∈R*R 存在（a,b)∈R*R,( a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 )
满足f((a,b))=(x,y),
所以f是满射
所以f是双射