双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点.如何证明

Question

双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点.如何证明

Answer 1

不妨设双曲线为实轴在X轴,中心在原点,且方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(因为通过图形变换最后都可这种形式)设A是左支上的任一点（不是顶点）,F1、F2分别为左右焦点,设内点为I点,内切圆I与实轴即X的切点B即为内点在实轴上的射影点.只需证明B为顶点.设内切圆与AF1、AF2的切点分别为C、D.由内切圆的性质知：AC=ADF1C=F1BF2B=F2D根据双曲线的定义有：AF2-AF1=2a 即：AD+DF2-AC-CF1=2aDF2-CF1=2aF2B-F1B=2a而满足上式的B正好是左支的顶点（可设左、右顶点分别为E、F,则有：OE＝OF,F1E=F2F,故F2E-F1E=F2F+EF-FE1＝EF＝2a,B与E两点分别满足两等式：F2B-F1B=2aF2E-F1E=2a故B与E是同一点）故原命题成立!