n为正整数,求证30丨n5-n

Question

n为正整数,求证30丨n5-n

Answer 1

30 = 2*3*5,所以只需分别证明 2、3、5 能整除 n^5 - n
n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n、n-1、n+1 是3个连续整数,所以必有一个是2的倍数,一个是3的倍数.
所以：2和3 能整除 n^5 - n
下面证明 5 能整除 n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)
你可以由费尔马小定理直接得出：n^5 ≡ n (mod 5),从而 5 | (n^5 - n)
如果不想用费尔马小定理：
若 n(n-1)(n+1) 这3个连续整数有一个能被 5 整除,则 n^5 - n 可被 5 整除.
否则,n = 5k+2 或 5k+3,其中 k 为整数.
当 n = 5k+2 时,
n^2 + 1 = (5k+2)^2 + 1 ≡ 2^2 + 1 ≡ 5 (mod 5)
所以,n^2 + 1 可被 5 整除.
当 n = 5k+3 时,
n^2 + 1 = (5k+3)^2 + 1 ≡ 3^2 + 1 ≡ 10 (mod 5)
所以,n^2 + 1 可被 5 整除.
证完了.