（2014•河南模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a2+S2=31，an+1=3an-2n（n∈N*）．（Ⅰ）求证：{an-2n}为等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

Question

（2014•河南模拟）已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₂+S₂=31，a_n+1=3a_n-2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：{a_n-2ⁿ}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由an+1＝3an−2n可得an+1−2n+1＝3an−2n−2n+1＝3an−3•2n＝3(an−2n)，
又a₂=3a₁-2，则S₂=a₁+a₂=4a₁-2，
得a₂+S₂=7a₁-4=31，得a₁=5，
∴a1−21＝3≠0，
∴(an+1−2n+1)/(an−2n)＝3，
故{an−2n}为等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an−2n＝3n−1(a1−21)＝3n，
故an＝2n+3n，
∴Sn＝(2(1−2n))/(1−2)+(3(1−3n))/(1−3)＝2n+1+(3n+1)/(2)−(7)/(2)．