若a，b，c为整数，且（a-b）2016+（c-a）2016=1，试求（a-b）2017+（b-c）2017+（c-a）2017的值．

Question

若a，b，c为整数，且（a-b）²⁰¹⁶+（c-a）²⁰¹⁶=1，试求（a-b）²⁰¹⁷+（b-c）²⁰¹⁷+（c-a）²⁰¹⁷的值．

Answer 1

∵a，b，c为整数，且（a-b）²⁰¹⁶+（c-a）²⁰¹⁶=1，
∴a=b且c-a=±1或c=a且a-b=±1．
①当a=b，c-a=1时，a-b=0，b-c=-1，c-a=1，所以（a-b）²⁰¹⁷+（b-c）²⁰¹⁷+（c-a）²⁰¹⁷=0+（-1）+1=0；
②当a=b，c-a=-1时，a-b=0，b-c=1，c-a=-1，所以（a-b）²⁰¹⁷+（b-c）²⁰¹⁷+（c-a）²⁰¹⁷=0+1+（-1）=0；
③当c=a，a-b=1时，a-b=1，b-c=-1，c-a=0，所以（a-b）²⁰¹⁷+（b-c）²⁰¹⁷+（c-a）²⁰¹⁷=1+（-1）+0=0；
④当c=a，a-b=-1时，a-b=-1，b-c=1，c-a=0，所以（a-b）²⁰¹⁷+（b-c）²⁰¹⁷+（c-a）²⁰¹⁷=-1+1+0=0．
综上所述，代数式（a-b）²⁰¹⁷+（b-c）²⁰¹⁷+（c-a）²⁰¹⁷的值为0．