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已知在关于x的分式方程k-1x-1=2①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.(1)求k的取值范围;(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+
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已知在关于x的分式方程
=2①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;
(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.
k-1 |
x-1 |
(1)求k的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;
(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵关于x的分式方程
=2的根为非负数,
∴x≥0且x≠1,
又∵x=
≥0,且
≠1,
∴解得k≥-1且k≠1,
又∵一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0中2-k≠0,
∴k≠2,
综上可得:k≥-1且k≠1且k≠2;
(2)∵一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0有两个整数根x1、x2,且k=m+2,n=1时,
∴把k=m+2,n=1代入原方程得:-mx2+3mx+(1-m)=0,即:mx2-3mx+m-1=0,
∴△>0,即△=(-3m)2-4m(m-1),且m≠0,
∴△=9m2-4m(m-1)=m(5m+4)>0,
则m>0或m<-
;
∵x1、x2是整数,k、m都是整数,
∵x1+x2=3,x1•x2=
=1-
,
∴1-
为整数,
∴m=1或-1,
由(1)知k≠1,则m+2≠1,m≠-1
∴把m=1代入方程mx2-3mx+m-1=0得:x2-3x+1-1=0,
x2-3x=0,
x(x-3)=0,
x1=0,x2=3;
(3)|m|≤2成立,理由是:
由(1)知:k≥-1且k≠1且k≠2,
∵k是负整数,
∴k=-1,
(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0且方程有两个实数根x1、x2,
∴x1+x2=-
=
=-m,x1x2=
=
n,
x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k),
x12-x1k+x22-x2k=x1x2-x1k-x2k+k2,
x12+x22═x1x2+k2,
(x1+x2)2-2x1x2-x1x2=k2,
(x1+x2)2-3x1x2=k2,
(-m)2-3×
n=(-1)2,
m2-4n=1,n=
①,
△=(3m)2-4(2-k)(3-k)n=9m2-48n≥0②,
把①代入②得:9m2-48×
≥0,
m2≤4,
则|m|≤2,
∴|m|≤2成立.
k-1 |
x-1 |
∴x≥0且x≠1,
又∵x=
k+1 |
2 |
k+1 |
2 |
∴解得k≥-1且k≠1,
又∵一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0中2-k≠0,
∴k≠2,
综上可得:k≥-1且k≠1且k≠2;
(2)∵一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0有两个整数根x1、x2,且k=m+2,n=1时,
∴把k=m+2,n=1代入原方程得:-mx2+3mx+(1-m)=0,即:mx2-3mx+m-1=0,
∴△>0,即△=(-3m)2-4m(m-1),且m≠0,
∴△=9m2-4m(m-1)=m(5m+4)>0,
则m>0或m<-
4 |
5 |
∵x1、x2是整数,k、m都是整数,
∵x1+x2=3,x1•x2=
m-1 |
m |
1 |
m |
∴1-
1 |
m |
∴m=1或-1,
由(1)知k≠1,则m+2≠1,m≠-1
∴把m=1代入方程mx2-3mx+m-1=0得:x2-3x+1-1=0,
x2-3x=0,
x(x-3)=0,
x1=0,x2=3;
(3)|m|≤2成立,理由是:
由(1)知:k≥-1且k≠1且k≠2,
∵k是负整数,
∴k=-1,
(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0且方程有两个实数根x1、x2,
∴x1+x2=-
3m |
2-k |
3m |
k-2 |
(3-k)n |
2-k |
4 |
3 |
x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k),
x12-x1k+x22-x2k=x1x2-x1k-x2k+k2,
x12+x22═x1x2+k2,
(x1+x2)2-2x1x2-x1x2=k2,
(x1+x2)2-3x1x2=k2,
(-m)2-3×
4 |
3 |
m2-4n=1,n=
m2-1 |
4 |
△=(3m)2-4(2-k)(3-k)n=9m2-48n≥0②,
把①代入②得:9m2-48×
m2-1 |
4 |
m2≤4,
则|m|≤2,
∴|m|≤2成立.
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