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已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数
题目详情
已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．
（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．
▼优质解答
答案和解析
（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0+1，f（0）=-1，
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4，
即f（x+1）-f（x）=2x+4，
∴f（2）-f（1）=2×1+4，f（3）-f（2）=2×2+4，f（4）-f（3）=2×3+4，…
f（x）-f（x-1）=2×（x-1）+4，
累加得：f（x）-f（1）=2（1+2+3+4…+（x-1））+4（x-1）=x2+3x-4，又 f（1）=1，
∴f（x）═x2+3x-3，x∈N*．
（2）∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
∴x2+3x-3≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
即 a≤
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4，
即f（x+1）-f（x）=2x+4，
∴f（2）-f（1）=2×1+4，f（3）-f（2）=2×2+4，f（4）-f（3）=2×3+4，…
f（x）-f（x-1）=2×（x-1）+4，
累加得：f（x）-f（1）=2（1+2+3+4…+（x-1））+4（x-1）=x2+3x-4，又 f（1）=1，
∴f（x）═x2+3x-3，x∈N*．
（2）∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
∴x2+3x-3≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
即 a≤
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