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已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,求实数
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已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.
(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;
(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,求实数a的取值范围.
(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;
(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0+1,f(0)=-1,
令y=1得,f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+4,
即f(x+1)-f(x)=2x+4,
∴f(2)-f(1)=2×1+4,f(3)-f(2)=2×2+4,f(4)-f(3)=2×3+4,…
f(x)-f(x-1)=2×(x-1)+4,
累加得:f(x)-f(1)=2(1+2+3+4…+(x-1))+4(x-1)=x2+3x-4,又 f(1)=1,
∴f(x)═x2+3x-3,x∈N*.
(2)∵x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
∴x2+3x-3≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
即 a≤
令y=1得,f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+4,
即f(x+1)-f(x)=2x+4,
∴f(2)-f(1)=2×1+4,f(3)-f(2)=2×2+4,f(4)-f(3)=2×3+4,…
f(x)-f(x-1)=2×(x-1)+4,
累加得:f(x)-f(1)=2(1+2+3+4…+(x-1))+4(x-1)=x2+3x-4,又 f(1)=1,
∴f(x)═x2+3x-3,x∈N*.
(2)∵x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
∴x2+3x-3≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
即 a≤
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