如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD:AD:CD=2:3:4,(1)试说明△ABC是等腰三角形;(2)已知S△ABC=40cm2,如图2
如图 1 , △ ABC 中, CD ⊥ AB 于 D ,且 BD : AD : CD=2 : 3 : 4 ,
( 1 )试说明 △ ABC 是等腰三角形;
( 2 )已知 S △ ABC =40cm 2 ,如图 2 ,动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 BA 向点 A 运动,同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段 AC 向点 C 运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点 M 运动的时间为 t (秒),
① 若 △ DMN 的边与 BC 平行,求 t 的值;
② 若点 E 是边 AC 的中点,问在点 M 运动的过程中, △ MDE 能否成为等腰三角形?若能,求出 t 的值;若不能,请说明理由.
【考点】 勾股定理;等腰三角形的判定与性质.
【专题】 动点型.
【分析】 ( 1 )设 BD=2x , AD=3x , CD=4x ,则 AB=5x ,由勾股定理求出 AC ,即可得出结论;
( 2 )由 △ ABC 的面积求出 BD 、 AD 、 CD 、 AC ; ① 当 MN ∥ BC 时, AM=AN ;当 DN ∥ BC 时, AD=AN ;得出方程,解方程即可;
② 根据题意得出当点 M 在 DA 上,即 4 < t ≤ 10 时, △ MDE 为等腰三角形,有 3 种可能:如果 DE=DM ;如果 ED=EM ;如果 MD=ME=t ﹣ 4 ;分别得出方程,解方程即可.
【解答】 ( 1 )证明:设 BD=2x , AD=3x , CD=4x ,
则 AB=5x ,
在 Rt △ ACD 中, AC= =5x ,
∴ A B=AC ,
∴△ ABC 是等腰三角形;
( 2 ) S △ ABC = × 5x × 4x=40cm 2 ,而 x > 0 ,
∴ x=2cm ,
则 BD=4cm , AD=6cm , CD=8cm , AC=10cm .
① 当 MN ∥ BC 时, AM=AN ,
即 10 ﹣ t=t ,
∴ t=5 ;
当 DN ∥ BC 时, AD=AN ,
得: t=6 ;
∴ 若 △ DMN 的边与 BC 平行时, t 值为 5 或 6 .
② 当点 M 在 BD 上,即 0 ≤ t < 4 时, △ MDE 为钝角三角形,但 DM ≠ DE ;
当 t=4 时,点 M 运动到点 D ,不构成三角形
当点 M 在 DA 上,即 4 < t ≤ 10 时, △ MDE 为等腰三角形,有 3 种可能.
如果 DE=DM ,则 t ﹣ 4=5 ,
∴ t=9 ;
如果 ED=EM ,则点 M 运动到点 A ,
∴ t=10 ;
如果 MD=ME=t ﹣ 4 ,则( t ﹣ 4 ) 2 ﹣( t ﹣ 7 ) 2 =4 2 ,
∴ t= ;
综上所述,符合要求的 t 值为 9 或 10 或 .
【点评】 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识;本题有一定难度,需要进行分类讨论才能得出结果.
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