如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC=40cm2，如图2

Question

如图 1 ， △ ABC 中， CD ⊥ AB 于 D ，且 BD ： AD ： CD=2 ： 3 ： 4 ，

（ 1 ）试说明 △ ABC 是等腰三角形；

（ 2 ）已知 S _{△ ABC} =40cm ² ，如图 2 ，动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 BA 向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段 AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点 M 运动的时间为 t （秒），

① 若 △ DMN 的边与 BC 平行，求 t 的值；

② 若点 E 是边 AC 的中点，问在点 M 运动的过程中， △ MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【考点】 勾股定理；等腰三角形的判定与性质．

【专题】 动点型．

【分析】 （ 1 ）设 BD=2x ， AD=3x ， CD=4x ，则 AB=5x ，由勾股定理求出 AC ，即可得出结论；

（ 2 ）由 △ ABC 的面积求出 BD 、 AD 、 CD 、 AC ； ① 当 MN ∥ BC 时， AM=AN ；当 DN ∥ BC 时， AD=AN ；得出方程，解方程即可；

② 根据题意得出当点 M 在 DA 上，即 4 ＜ t ≤ 10 时， △ MDE 为等腰三角形，有 3 种可能：如果 DE=DM ；如果 ED=EM ；如果 MD=ME=t ﹣ 4 ；分别得出方程，解方程即可．

【解答】 （ 1 ）证明：设 BD=2x ， AD=3x ， CD=4x ，

则 AB=5x ，

在 Rt △ ACD 中， AC= =5x ，

∴ A B=AC ，

∴△ ABC 是等腰三角形；

（ 2 ） S _{△ ABC} = × 5x × 4x=40cm ² ，而 x ＞ 0 ，

∴ x=2cm ，

则 BD=4cm ， AD=6cm ， CD=8cm ， AC=10cm ．

① 当 MN ∥ BC 时， AM=AN ，

即 10 ﹣ t=t ，

∴ t=5 ；

当 DN ∥ BC 时， AD=AN ，

得： t=6 ；

∴ 若 △ DMN 的边与 BC 平行时， t 值为 5 或 6 ．

② 当点 M 在 BD 上，即 0 ≤ t ＜ 4 时， △ MDE 为钝角三角形，但 DM ≠ DE ；

当 t=4 时，点 M 运动到点 D ，不构成三角形

当点 M 在 DA 上，即 4 ＜ t ≤ 10 时， △ MDE 为等腰三角形，有 3 种可能．

如果 DE=DM ，则 t ﹣ 4=5 ，

∴ t=9 ；

如果 ED=EM ，则点 M 运动到点 A ，

∴ t=10 ；

如果 MD=ME=t ﹣ 4 ，则（ t ﹣ 4 ） ² ﹣（ t ﹣ 7 ） ² =4 ² ，

∴ t= ；

综上所述，符合要求的 t 值为 9 或 10 或 ．

【点评】 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．