将函数f（x）=2+|x|（-1≤x≤1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∞n＝11n2的和．

Question

将函数f（x）=2+|x|（-1≤x≤1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数

∞

n＝1

(1)/(n2)的和．

Answer 1

因为f（x）是一个偶函数，
故：f(x)＝(a0)/(2)+

∞

k＝1

akcoskπx，
其中：
a₀=2

∫

1 0

f(x)dx=2

∫

1 0

(2+|x|)dx=5，
a_k=2

∫

1 0

f(x)coskπxdx=2

∫

1 0

(2+|x|)coskπx dx=2[(1)/(kπ)(2+x)sinkπx+(1)/(k2π2)coskπx]

|

1 0

=(2)/(k2π2)((−1)k−1)，
所以：
f（x）=(5)/(2)+

∞

k＝1

(2)/(k2π2)((−1)k−1)coskπx，
代入x=0可得：
2=(5)/(2)+

∞

n＝1

(2•(−2))/((2n)2π2)，
整理即得：

∞

n＝1

(1)/(n2)=(π2)/(2)．