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已知△ABC中,∠C是其最小的内角,如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线.
题目详情
已知△ABC中,∠C是其最小的内角,如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线.例如:如图1,在Rt△ABC中,∠C=20°,过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且∠DBC=20°,显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线.
(1)如图2,在△ABC中,∠C=20°,∠ABC=110°.请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线,并标注角度;
(2)在△ABC中,设∠B的度数为y,最小内角∠C的度数为x.试探索y与x之间满足怎样的关系时,△ABC存在关于点B的伴侣分割线.
(1)如图2,在△ABC中,∠C=20°,∠ABC=110°.请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线,并标注角度;
(2)在△ABC中,设∠B的度数为y,最小内角∠C的度数为x.试探索y与x之间满足怎样的关系时,△ABC存在关于点B的伴侣分割线.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图所示:
(2)设BD为△ABC的伴侣分割线,分以下两种情况.
第一种情况:△BDC是等腰三角形,△ABD是直角三角形,
易知∠C和∠DBC必为底角,∴∠DBC=∠C=x.
当∠A=90°时,△ABC存在伴侣分割线,此时y=90°-x,
当∠ABD=90°时,△ABC存在伴侣分割线,此时y=90°+x,
当∠ADB=90°时,△ABC存在伴侣分割线,此时x=45°且y>x;
第二种情况:△BDC是直角三角形,△ABD是等腰三角形,
当∠DBC=90°时,若BD=AD,则△ABC存在伴侣分割线,
此时180°-x-y=y-90°,∴y=135°-
x,
当∠BDC=90°时,若BD=AD,则△ABC存在伴侣分割线,
此时∠A=45°,∴y=135°-x.
综上所述,当y=90°-x或y=90°+x或x=45°且y>x或y=135°-
x或y=135°-x时△ABC存在伴侣分割线.
(2)设BD为△ABC的伴侣分割线,分以下两种情况.
第一种情况:△BDC是等腰三角形,△ABD是直角三角形,
易知∠C和∠DBC必为底角,∴∠DBC=∠C=x.
当∠A=90°时,△ABC存在伴侣分割线,此时y=90°-x,
当∠ABD=90°时,△ABC存在伴侣分割线,此时y=90°+x,
当∠ADB=90°时,△ABC存在伴侣分割线,此时x=45°且y>x;
第二种情况:△BDC是直角三角形,△ABD是等腰三角形,
当∠DBC=90°时,若BD=AD,则△ABC存在伴侣分割线,
此时180°-x-y=y-90°,∴y=135°-
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当∠BDC=90°时,若BD=AD,则△ABC存在伴侣分割线,
此时∠A=45°,∴y=135°-x.
综上所述,当y=90°-x或y=90°+x或x=45°且y>x或y=135°-
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