设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比,若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出,问它给存户支付的年利率为多少时,才能获得最大利润?

Question

设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比,若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出,问它给存户支付的年利率为多少时,才能获得最大利润?

Answer 1

设银行支付给存户的年利率为x,则银行的总存款量为kx²,利润为：
L(x) = 90%kx²10% - kx³
L'(x) = kx(0.18 - 3x)
L''(x) = k(0.18 - 6x)
令L'(x) = 0,则x = 0.06
L''(0.06) = -0.18k < 0,取得极大值
所以当x = 0.06,即6%时利润最大.