若函数y=f(x)对于一切正实数x1,x2满足等式f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=1处连续证明f(x)在任一点x0(x0>0)处连续

Question

若函数y=f(x)对于一切正实数x1,x2满足等式f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=1处连续
证明f(x)在任一点x0(x0>0)处连续

Answer 1

对于任一点x0(x0>0)有：
f(x0+)=f(x0*1+)=f(x0)+f(1+),x0+和1+表示从大于x0和1的方向趋向于x0和1；
f(x0-)=f(x0*1-)=f(x0)+f(1-),x0-和1-表示从小于于x0和1的方向趋向于x0和1；
两式相减有 f(x0+)-f(x0-)=f(1+)-f(1-)
因为f(x)在x=1处连续,故f(1+)=f(1-)
所以 f(x0+)-f(x0-)=0
即 f(x0+)=f(x0-)
f(x)在任一点x0(x0>0)处连续