试将函数f(z)=(sinz)^2在z=0处展开成泰勒级数

Question

试将函数f(z)=(sin z)^2 在z=0处展开成泰勒级数

Answer 1

如果直接将sinz展开,将要处理两个无穷级数的乘积,比较麻烦.利用三角公式变形成更直接的形式：
f(z) = sin(z) ^2 = (1-cos(2z))/2
又已知
cosx = 1 - x^2/2 + x^4/4!+ ...+ (-1)^n*x^{2n}/(2n)!+ ...
将x换成2z,则
f(z) = 1/2 * ∑(-1)^{n-1} * 2^{2n} * z^{2n}/(2n)!