（2012•天门）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2

Question

（2012•天门）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S₁；当AB=2时，△AME的面积记为S₂；当AB=3时，△AME的面积记为S₃；…当AB=n时，△AME的面积记为S_n．当n≥2时，S_n-S_n-1=

(2n−1)/(2)

(2n−1)/(2)

．

Answer 1

方法一：连接BE．
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高，
∴△AME的面积=△AMB的面积，
∴当AB=n时，△AME的面积记为S_n=(1)/(2)n²，
S_n-1=(1)/(2)（n-1）²=(1)/(2)n²-n+(1)/(2)，
∴当n≥2时，S_n-S_n-1=(2n−1)/(2)．

方法二：如图所示：延长CE与NM，交于点Q，
∵线段AC=n+1（其中n为正整数），
∴当AB=n时，BC=1，
∴当△AME的面积记为：
S_n=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，
=n（n+1）-(1)/(2)×1×（n+1）-(1)/(2)×1×（n-1）-(1)/(2)×n×n，
=(1)/(2)n²，
当AB=n-1时，BC=2，
∴此时△AME的面积记为：
S_n-1=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，
=（n+1）（n-1）-(1)/(2)×2×（n+1）-(1)/(2)×2×（n-3）-(1)/(2)×（n-1）（n-1），
=(1)/(2)n²-n+(1)/(2)，
∴当n≥2时，S_n-S_n-1=(1)/(2)n²-（(1)/(2)n²-n+(1)/(2)）=n-(1)/(2)=(2n−1)/(2)．
故答案为：(2n−1)/(2)．