如图，M为正方形ABCD边AB上一点，BP⊥CM于P点，PN⊥PD交BC于N．求证：BM=BN．

Question

如图，M为正方形ABCD边AB上一点，BP⊥CM于P点，PN⊥PD交BC于N．
求证：BM=BN．

Answer 1

证明：∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
又∵∠PCB+∠PCD=90°，
∴∠PBC=∠PCD．
∵PD⊥PN，
∴∠DPN=90°．
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°，∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°，
∴∠BPN=∠DPC．
∴△PBN∽△PCD（两角对应相等的两个三角形相似）．
∴(BN)/(BP)=(CD)/(PC)．
又∵BP⊥MC，
∴△PBM∽△PCB，
∴(BM)/(BP)=(BC)/(PC)．
∵BC=CD，
∴(BN)/(BP)=(BM)/(BP)．
∴BN=BM．