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已知:如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点P是边AD上一点,连接CP,将四边形ABCP沿CP所在直线翻折,落在四边形EFCP的位置,点A、B的对应点分别为点E,F,边CF与边AD的交点为点G.(1)当AP=2时
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已知:如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点P是边AD上一点,连接CP,将四边形ABCP沿CP所在直线翻折,落在四边形EFCP的位置,点A、B的对应点分别为点E,F,边CF与边AD的交点为点G.
(1)当AP=2时,求PG的值;
(2)如果AP=x,FG=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)连结BP并延长与线段CF交于点M,当△PGM是以MG为腰的等腰三角形时,求AP的长.
(1)当AP=2时,求PG的值;
(2)如果AP=x,FG=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)连结BP并延长与线段CF交于点M,当△PGM是以MG为腰的等腰三角形时,求AP的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意得:四边形ABCP与四边形EFCP全等.
∴∠BCP=∠FCP.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠BCP=∠DPC,
∴∠DCP=∠FCP,
∴PG=CG,
设PG=a,
则在RT△DGC中,CG=a,DG=3-a,CD=2,且CD2+DG2=CG2,
∴22+(3-a)2=a2,解得:a=
,
即PG=
.
(2)由题意得:CF=BC=5,
∴CG=5-y,
∴PG=5-y,
∴DG=5-(5-y)-x=y-x,
∵在RT△DGC中,CD2+DG2=CG2,
∴(y-x)2+22=(5-y)2,
∴y=
,
∴y关于x的函数解析式为:y=
,(0≤x≤3)
(3)∵△PGM是以MG为腰的等腰三角形,
∴MG=MP或MG=PG,如图1中,
①当MG=MP时,
∵∠MPG=∠MGC,
∵∠APB=∠MPG,∠MGP=∠DGC,
∴∠APB=∠DGC,
在△APB和△DGC中,
,
∴△APB≌△DGC,
∴AP=DG,
∴y=2x,
∴
=2x,化简整理得:3x2-20x+21=0,解得:x=
,
∵x=
>3不符合题意舍去,
∴x=
.
②当MG=PG时,
∵∠MPG=∠PMG,
∵∠MPG=∠MBC,
∴∠MBC=∠PMC,
∴CM=CB,(即点M与点F重合).
又∵∠BCP=∠MCP,
∴CP⊥BP,
∴△ABP,△DPC,△BPC均为直角三角形.
∴AP2+AB2+DP2+CD2=BC2,即x2+22+(5-x)2+22=52,
化简整理得:x2-5x+4=0,解得:x=1或4.
∵x=4>3不符合题意舍弃,
∴x=1.
综上所述:当△PGM是以MG腰的等腰三角形时,AP=
或1.
∴∠BCP=∠FCP.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠BCP=∠DPC,
∴∠DCP=∠FCP,
∴PG=CG,
设PG=a,
则在RT△DGC中,CG=a,DG=3-a,CD=2,且CD2+DG2=CG2,
∴22+(3-a)2=a2,解得:a=
13 |
6 |
即PG=
13 |
6 |
(2)由题意得:CF=BC=5,
∴CG=5-y,
∴PG=5-y,
∴DG=5-(5-y)-x=y-x,
∵在RT△DGC中,CD2+DG2=CG2,
∴(y-x)2+22=(5-y)2,
∴y=
21-x2 |
10-2x |
∴y关于x的函数解析式为:y=
21-x2 |
10-2x |
(3)∵△PGM是以MG为腰的等腰三角形,
∴MG=MP或MG=PG,如图1中,
①当MG=MP时,
∵∠MPG=∠MGC,
∵∠APB=∠MPG,∠MGP=∠DGC,
∴∠APB=∠DGC,
在△APB和△DGC中,
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∴△APB≌△DGC,
∴AP=DG,
∴y=2x,
∴
21-x2 |
10-2x |
10±
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3 |
∵x=
10+
| ||
3 |
∴x=
10-
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3 |
②当MG=PG时,
∵∠MPG=∠PMG,
∵∠MPG=∠MBC,
∴∠MBC=∠PMC,
∴CM=CB,(即点M与点F重合).
又∵∠BCP=∠MCP,
∴CP⊥BP,
∴△ABP,△DPC,△BPC均为直角三角形.
∴AP2+AB2+DP2+CD2=BC2,即x2+22+(5-x)2+22=52,
化简整理得:x2-5x+4=0,解得:x=1或4.
∵x=4>3不符合题意舍弃,
∴x=1.
综上所述:当△PGM是以MG腰的等腰三角形时,AP=
10-
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