以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有个．（请用数字作答）

Question

以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有______个．（请用数字作答）

Answer 1

根据题意，如图分3种情况讨论：
①、上底面中取3个点，下底面取1个点，
共有C₅³×C₅¹=50个四面体，
②、上底面中取1个点，下底面取3个点，
共有C₅¹×C₅³=50个四面体，
③、上底面中取2个点，下底面取2个点，
共有C₅²×C₅²=100种情况，
其中共面的有3种情况：a、5个侧面，b、5个对角面，c、10个底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确定的平面，如平面ACD′B′，
此时可以组成四面体100-5-5-10=80个；
综合可得：一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有50+50+80=180个：
故答案为180．