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以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有个.(请用数字作答)
题目详情
以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有______个.(请用数字作答)
▼优质解答
答案和解析
根据题意,如图分3种情况讨论:
①、上底面中取3个点,下底面取1个点,
共有C53×C51=50个四面体,
②、上底面中取1个点,下底面取3个点,
共有C51×C53=50个四面体,
③、上底面中取2个点,下底面取2个点,
共有C52×C52=100种情况,
其中共面的有3种情况:a、5个侧面,b、5个对角面,c、10个底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确定的平面,如平面ACD′B′,
此时可以组成四面体100-5-5-10=80个;
综合可得:一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有50+50+80=180个:
故答案为180.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/17/1534467959-4560.jpg)
①、上底面中取3个点,下底面取1个点,
共有C53×C51=50个四面体,
②、上底面中取1个点,下底面取3个点,
共有C51×C53=50个四面体,
③、上底面中取2个点,下底面取2个点,
共有C52×C52=100种情况,
其中共面的有3种情况:a、5个侧面,b、5个对角面,c、10个底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确定的平面,如平面ACD′B′,
此时可以组成四面体100-5-5-10=80个;
综合可得:一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有50+50+80=180个:
故答案为180.
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