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如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=63,∠BAD=60°,且AB>63.(1)求∠EPF的大小;(2)若AP=10,求AE+AF的值;(3)若△EFP的三个顶点E、F
题目详情
如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6
,∠BAD=60°,且AB>6
.
(1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=10,求AE+AF的值;
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.
3 |
3 |
(1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=10,求AE+AF的值;
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)过点P作PG⊥EF于点G,如图1所示.
∵PE=PF=6,EF=6
,
∴FG=EG=3
,∠FPG=∠EPG=
∠EPF.
在Rt△FPG中,sin∠FPG=
=
=
,
∴∠FPG=60°,
∴∠EPF=120°.
(2)过点P作PM⊥AB于点M,作PN⊥AD于点N,如图2所示.
∵AC为菱形ABCD的对角线,
∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.
在Rt△PME和Rt△PNF中,PM=PN,PE=PF,
∴Rt△PME≌Rt△PNF,
∴ME=NF.
又AP=10,∠PAM=
∠DAB=30°,
∴AM=AN=APcos30°=10×
=5
,
∴AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=10
.
(3)如图,
当△EFP的三个顶点分别在AB,AD,AC上运动,点P在P1,P之间运动,
∴P1O=PO=3,AO=9,
∴AP的最大值为12,AP的最小值为6,
∵PE=PF=6,EF=6
3 |
∴FG=EG=3
3 |
1 |
2 |
在Rt△FPG中,sin∠FPG=
FG |
PF |
3
| ||
6 |
| ||
2 |
∴∠FPG=60°,
∴∠EPF=120°.
(2)过点P作PM⊥AB于点M,作PN⊥AD于点N,如图2所示.
∵AC为菱形ABCD的对角线,
∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.
在Rt△PME和Rt△PNF中,PM=PN,PE=PF,
∴Rt△PME≌Rt△PNF,
∴ME=NF.
又AP=10,∠PAM=
1 |
2 |
∴AM=AN=APcos30°=10×
| ||
2 |
3 |
∴AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=10
3 |
(3)如图,
当△EFP的三个顶点分别在AB,AD,AC上运动,点P在P1,P之间运动,
∴P1O=PO=3,AO=9,
∴AP的最大值为12,AP的最小值为6,
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