如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=63，∠BAD=60°，且AB>63．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F

Question

如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6√(3)，∠BAD=60°，且AB>6√(3)．

（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

Answer 1

（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．

∵PE=PF=6，EF=6√(3)，
∴FG=EG=3√(3)，∠FPG=∠EPG=(1)/(2)∠EPF．
在Rt△FPG中，sin∠FPG=(FG)/(PF)=(3√(3))/(6)=(√(3))/(2)，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=120°．
（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．

∵AC为菱形ABCD的对角线，
∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．
在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴ME=NF．
又AP=10，∠PAM=(1)/(2)∠DAB=30°，
∴AM=AN=APcos30°=10×(√(3))/(2)=5√(3)，
∴AE+AF=（AM+ME）+（AN-NF）=AM+AN=10√(3)．
（3）如图，

当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P₁，P之间运动，
∴P₁O=PO=3，AO=9，
∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，