极值的第三充分条件极值第二充分条件；若x0是f(x)的驻点(即f′(x0)＝0),且f″(x0)存在,f″(x0)≠0,则当f″(x0)＞0时,f(x0)为极小值,当f″(x0)＜0时,f(x0)为极大值.由泰勒定理推得f(x)＝f(x0)＋f′(x0)(x-x

Question

极值的第三充分条件
极值第二充分条件；若x0是f(x)的驻点(即f′(x0)＝0),且f″(x0)存在,f″(x0)≠0,则当f″(x0)＞0时,f(x0)为极小值,当f″(x0)＜0时,f(x0)为极大值.由泰勒定理推得 f(x)＝f(x0)＋f′(x0)(x-x0)＋(x-x0)2＋0（（x-x0）2） (x→x0)?有 f(x)－f(x0)= (x-x0)2＋0（（x-x0）2）?当x充分接近x时,上式左边的符号由第一项 (x-x0)2决定,于是?当f″(x0)＞0时,f(x)-f(x0)＞0,即f(x)＞f(x0),所以f(x0)为极小值；?当f″(x0)＜0时,f(x)-f(x0)＞0,即f(x)＜f(x0),所以f(x0)为极大值； 由此推广,若x0是f(x)的驻点(即f′(x0)＝0),且f″(x0)至f(x0)的（n-1）次导数等于0而 f(x0)的n次导数不等于0,则什么时候为f(x0)为极小值,极大值?

Answer 1

f(x0)的n次导数＞0则f(x0)的n-1次导数在x0左边＜0,右边＞0则f(x0)的n-2次导数在x0左减右增,且在x0附近＞0,即在x0点取到极小值则f（x0）的n-3次导数在x0左边＜0,右边＞0……∴n为偶数时,f（x0）在x0点取到极小值同理,f（x0）的n次导数＜0时,n为偶数时,f（x0）在x0点取到极大值