λ取何值时，方程组2x1+λx2−x3＝1λx1−x2+x3＝24x1+5x2−5x3＝−1无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．

Question

λ取何值时，方程组

2x1+λx2−x3＝1

λx1−x2+x3＝2

4x1+5x2−5x3＝−1

无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．

Answer 1

∵方程组系数矩阵的行列式：
|A|＝

.

2	λ	−1
λ	−1	1
4	5	−5

.

=5λ²-λ-4=（λ-1）（5λ+4），
∴
①当λ≠1且λ≠−(4)/(5)时，由于|A|≠0，方程组有唯一解，
②当λ＝−(4)/(5)时，对原方程组的增广矩阵做初等行变换化成行阶梯形矩阵：

.

A

＝

2	−(4)/(5)	−1	1
−(4)/(5)	−1	1	2
4	5	−5	−1

5r1，−5r2

10	−4	−5	5
4	5	−5	−10
4	5	−5	−1

r3−r2

10	−4	−5	5
4	5	−5	−10
0	0	0	9

，
从而：r(A)＝2＜3＝r(

.

A

)，
∴方程组无解，
③当λ=1时，

.

A

＝

2	1	−1	1
1	−1	1	2
4	5	−5	−1

r1r2

1	−1	1	2
2	1	−1	1
4	5	−5	−1

r2−2r1，r3−4r1

1	−1	1	2
0	3	−3	−3
0	9	−9	−9

r3−3r1，(1)/(3)r2，r1+r2

1	0	0	1
0	1	−1	−1
0	0	0	0

，
取x₃为自由变量，则：

x1＝1

x2＝−1+x3

令x₃=c，c为任意常数，得方程组的通解为：

x1

x2

x3

＝

1

−1+c

c

．