在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．（1）若FG=82，则∠CFG=°；（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求

Question

在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．
（1）若FG=8√(2)，则∠CFG=______°；
（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；
（3）过点E作EH∥CF交射线CB于点H，请探究：当GB为何值时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°．
∴∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠FGC=∠FCG；
∴FC=FG=8√(2)
∴在Rt△FCD中，
sin∠DFC=(DC)/(FC)＝(8)/(8√(2))＝(√(2))/(2)，
∴∠DFC=45°，
∴∠CFG=180°-∠AFE-∠DFC=180°-45°-45°=90°； 
故答案为：90°；
                 
（2）图形如下：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°．
∵△FGC是等边三角形，
∴∠GFC=60°．
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DFC=60°．
∵DC=8，
∴FC＝(DC)/(sin60°)＝(16√(3))/(3)．
∵△FGC是等边三角形，
∴GC=FC=(16√(3))/(3)．
∵BC=AD=12，
∴GB=12-(16√(3))/(3)；
（3）过点F作FK⊥BC于点K

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC．
∴∠DFC=∠KCF，∠AFG=∠KGF．
∵∠DFC=∠AFG，
∴∠KCF=∠KGF．
∴FG=FC．
∴GK=CK．
∵四边形FHEC是平行四边形，
∴FG=EG．
∴在△FGK和△EGB中

∠FGK＝∠EGB

∠FKG＝∠EBG

FG＝EG

∴△FGK≌△EGB
∴BG=GK=KC=(12)/(3)＝4．