我国正在逐步建立同步卫星与“伽利略计划”等中低轨道卫星等构成的卫星通信系统．（1）若已知地球的平均半径为R0，自转周期为T0，地表的重力加速度为g，试求同步卫星的轨道半径R；（

Question

我国正在逐步建立同步卫星与“伽利略计划”等中低轨道卫星等构成的卫星通信系统．
（1）若已知地球的平均半径为R₀，自转周期为T₀，地表的重力加速度为g，试求同步卫星的轨道半径R；
（2）有一颗与上述同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径R的四分之一，试求该卫星至少每隔多长时间才在同一城市的正上方出现一次．（计算结果只能用题中已知物理量的字母表示）

Answer 1

（1）设地球的质量为M，同步卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故
G(Mm)/(R2)=mR((2π)/(T))2…①
同步卫星的周期为：T=T₀…②
而在地表面，重力提供向心力，有：mg=G(Mm)/(R02)…③
由①②③式解得：
R=

3	(gR02T02)/(4π2)

．
（2）由①式可知T²∝R³，
设低轨道卫星运行的周期为T′，则(T′2)/(T′)=(((R)/(4))3)/(R3)
因而T′=(T0)/(8)
设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ=ωt得：
(2π)/(T′)t=2π+(2π)/(T0)t
解得：t=(T0)/(7)，即卫星至少每隔(T0)/(7)时间才在同一地点的正上方出现一次．
答：（1）同步卫星的轨道半径为

3	(gR02T02)/(4π2)

．
（2）卫星至少每隔(T0)/(7)时间才在同一地点的正上方出现一次．