已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．

Question

已知椭圆 （a＞b＞0）经过点 ，其离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

Answer 1

已知椭圆 （a＞b＞0）经过点 ，其离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

（Ⅰ）由已知， ，所以3a ² =4b ² ，①
又点 在椭圆C上，所以 ，②
由①②解之，得a ² =4，b ² =3．故椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）当直线l有斜率时，设y=kx+m时，则由
消去y得，（3+4k ² ）x ² +8kmx+4m ² ﹣12=0，
△=64k ² m ² ﹣4（3+4k ² ）（4m ² ﹣12）=48（3+4k ² ﹣m ² ）＞0，
③设A、B、P点的坐标分别为（x ₁ ，y ₁ ）、（x ₂ ，y ₂ ）、（x ₀ ，y ₀ ），则： ，
由于点P在椭圆C上，所以 ．从而 ，
化简得4m ² =3+4k ² ，经检验满足③式．
又点O到直线l的距离为： ．
当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为（﹣2，0），（2，0），直线l为x=±1，
所以点O到直线l的距离为1，O到直线l的距离最小值为 ．