已知函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1成立,当x>0时,f(x)>1,设函数g(x)=f(x)-11)求证f(x)是R上的增函数2）若g(m^2-m-6)+g(m-3)

Question

已知函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)= f(a)+ f(b)-1成立,当x>0时,f(x)>1 ,设函数g(x)=f(x)-1
1)求证f(x)是R上的增函数
2）若g(m^2-m-6)+g(m-3)

Answer 1

1.任取x1>x2
由f(a+b)= f(a)+ f(b)-1 令a=x2,b=x1-x2
有f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1
b=x1-x2>0 f(x1-x2)>1
f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1>f(x2)
所以增函数
2.令a=b=0
有f(0)=1
令a=x,b=-x
有f(0)=f(x)+f(-x)-1
所依f(x)+f(-x)=2
所以 f(-x)-1=1-f(x)
g(-x)=f(-x)-1=1-f(x)=-g(x)
所以g(x)为奇函数 也为增函数
g(m^2-m-6)+g(m-3)