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设函数f(x)在[0,1]上连续,且∫10f(x)=dx=0.试证至少存在一点ξ∈(0,1),使f(ξ)+f(1-ξ)=0.
题目详情
设函数f(x)在[0,1]上连续,且
f(x)=dx=0.试证至少存在一点ξ∈(0,1),使f(ξ)+f(1-ξ)=0.
∫ | 1 0 |
▼优质解答
答案和解析
证明:令 F(x)=
f(t)dt−
f(t)dt,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.
因为F′(x)=f(x)+f(1-x),且F(0)=F(1)=0,
从而由罗尔中值定理知,至少存在一点ξ∈(0,1),使F′(ξ)=0,
即:f(ξ)+f(1-ξ)=0.
∫ | x 0 |
∫ | 1−x 0 |
因为F′(x)=f(x)+f(1-x),且F(0)=F(1)=0,
从而由罗尔中值定理知,至少存在一点ξ∈(0,1),使F′(ξ)=0,
即:f(ξ)+f(1-ξ)=0.
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