已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=-9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值

Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=-9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=ax²+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，
即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．
（2）当a=3，b=-9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x³+3x²-9x+1
则h′（x）=3x²+6x-9，
令h'（x）=0，
解得：x₁=-3，x₂=1；
∴k≤-3时，函数h（x）在（-∞，-3）上单调增，在（-3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（-3）=28
-3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是（-∞，-3]