设随机变量X，Y相互独立同服从[0，1]上的均匀分布，试求：（Ⅰ）Z=|X-Y|的分布函数和概率密度；（Ⅱ）P（|Z-EZ|＜2DZ）．

Question

设随机变量X，Y相互独立同服从[0，1]上的均匀分布，试求：
（Ⅰ）Z=|X-Y|的分布函数和概率密度；
（Ⅱ）P（|Z-EZ|＜2√(DZ)）．

Answer 1

（ I）先求Z的分布函数F_Z（z）．
由题设X，Y的概率密度分别为
fX(x)＝

1，0≤x≤1

0，其它

，fY(y)＝

1，0≤y≤1

0，其它

当z＜0，F_Z（z）=0
当0≤z＜1，F_Z（z）=P（Z≤z）=P（|X-Y|≤z）=

∫∫

|x−y|≤z

fX(x)fY(y)dxdy=1-（1-z）²
当z≥1，F_Z（z）=1
故
 FZ(z)＝

0，z＜0

1−(1−z)2，0≤z＜1

1，z≥1

再求Z的概率密度f_Z（z）．
fZ(z)＝F′Z(z)＝

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