1.求证：收敛级数n从1到无穷∑{sinnx/（√n）}不可能是某个黎曼可积函数的傅立叶级数2.设f(x)=∑x^n/{n^2·ln(n+1)},n从1到无穷,求证（1）f(x)在[-1,1]上连续,（2）f(x)在x=-1可导,（3）x趋近于1-0时,f(x)

Question

1.求证：收敛级数n从1到无穷∑{sin nx/（√n）}不可能是某个黎曼可积函数的傅立叶级数
2.设f(x)=∑x^n/{n^2·ln(n+1)},n从1到无穷,求证（1）f(x)在[-1,1]上连续,（2）f(x)在x=-1可导,（3）x趋近于1-0时,f(x)导数的极限为0,（4）f(x)在x=1不可导
十二日0点之前答出追加100,7点之前追加50

Answer 1

1.如果f可积,那么因为在一个周期上,所以f^2可积.另外对于f,bn=1/sqrt(n),于是有 ∑bn^2 发散,而由parseval等式可知这是不可能的.
2.
1)级数正规收敛,所以一致收敛,所以函数连续.
2)只需证明各项导数组成的新级数在[-1.1m,-0.9]上一致收敛,就说明f在这个区间上可导,并且导函数就是新级数的和.
3)看不懂
4)如果f在1处可导,导函数为各项导数组成的新级数的和.但是1/n*ln(n+1)的级数发散,矛盾.于是f在1不可导.