设D={（x，y）||x|≤a，|y|≤b，a＞0，b＞0}，f（x，y）在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在D内满足∂2f∂x2+∂2f∂y2=0，∂2f∂x∂y≠0．证明：f（x，y）的最大值和最小值只能在D的边界上取到

Question

设D={（x，y）||x|≤a，|y|≤b，a＞0，b＞0}，f（x，y）在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在D内满足(∂2f)/(∂x2)+(∂2f)/(∂y2)=0，(∂2f)/(∂x∂y)≠0．证明：f（x，y）的最大值和最小值只能在D的边界上取到．

Answer 1

证明：因为f（x，y）在有界闭区域D上二阶连续可偏导连续，
故f（x，y）在D上必有最大和最小值．
如果f（x，y）在D内P点处取到最大或最小值，
又因为f（x，y）可微，则P点必为极值点．
记A(P)＝(∂2f)/(∂x2)|P，B(P)＝(∂2f)/(∂x∂y)|P，C(P)＝(∂2f)/(∂y2)|P，
由题设可得：A（P）+C（P）=0，B（P）≠0，
于是A（P）C（P）-B²（P）＜0，这与P点为极值点矛盾，
于是f（x，y）的最大和最小值一定在D的边界上取得．