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设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实

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设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
由题设得,g(x)=
x
1+x
(x≥0),
(Ⅰ)由已知g1(x)=
x
1+x

g2(x)=g(g1(x))=
x
1+x
1+
x
1+x
=
x
1+2x

g3(x)=
x
1+3x
,…
可得gn(x)=
x
1+nx

下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=
x
1+x
,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即gk(x)=
x
1+kx

那么n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))=
x
1+kx
1+
x
1+kx
=
x
1+(k+1)x
,即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥
ax
1+x
恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-
ax
1+x
(x≥0),则φ′(x)=
1
1+x
-
a
(1+x)2
=
x+1−a
(1+x)2

当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴当a≤1时,ln(1+x)≥
ax
1+x
恒成立,(仅当x=0时等号成立)
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0,即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥
ax
1+x
不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1

n-f(n)=n-ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1)
证明如下:上述不等式等价于
1
2
+
1
3
+…+