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设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实
题目详情
设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
由题设得,g(x)=
(x≥0),
(Ⅰ)由已知g1(x)=
,
g2(x)=g(g1(x))=
=
,
g3(x)=
,…
可得gn(x)=
.
下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=
,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即gk(x)=
,
那么n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))=
=
,即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥
恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-
(x≥0),则φ′(x)=
-
=
,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴当a≤1时,ln(1+x)≥
恒成立,(仅当x=0时等号成立)
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0,即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥
不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=
+
+…+
,
n-f(n)=n-ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1)
证明如下:上述不等式等价于
+
+…+
x |
1+x |
(Ⅰ)由已知g1(x)=
x |
1+x |
g2(x)=g(g1(x))=
| ||
1+
|
x |
1+2x |
g3(x)=
x |
1+3x |
可得gn(x)=
x |
1+nx |
下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=
x |
1+x |
②假设n=k时结论成立,即gk(x)=
x |
1+kx |
那么n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))=
| ||
1+
|
x |
1+(k+1)x |
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥
ax |
1+x |
设φ(x)=ln(1+x)-
ax |
1+x |
1 |
1+x |
a |
(1+x)2 |
x+1−a |
(1+x)2 |
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴当a≤1时,ln(1+x)≥
ax |
1+x |
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0,即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥
ax |
1+x |
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=
1 |
2 |
2 |
3 |
n |
n+1 |
n-f(n)=n-ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1)
证明如下:上述不等式等价于
1 |
2 |
1 |
3 |
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