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设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线:y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为.
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设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线:y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为______.
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=x3+ax2+(a-3)x,
∴f′(x)=3x2+2ax+(a-3),
∵f′(x)是偶函数,
∴3(-x)2+2a(-x)+(a-3)=3x2+2ax+(a-3),
解得a=0,
∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3,则f(2)=2,k=f′(2)=9,
即切点为(2,2),切线的斜率为9,
∴切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.
故答案为:9x-y-16=0.
∴f′(x)=3x2+2ax+(a-3),
∵f′(x)是偶函数,
∴3(-x)2+2a(-x)+(a-3)=3x2+2ax+(a-3),
解得a=0,
∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3,则f(2)=2,k=f′(2)=9,
即切点为(2,2),切线的斜率为9,
∴切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.
故答案为:9x-y-16=0.
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