已知正四面体A-BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则比较三者大小．

Question

已知正四面体A-BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则比较三者大小______．

Answer 1

过A作A在底面的射影O，
∵A-BCD是正四面体，
∴0是底面的中心，
取BC的中点E，连结OB，OE，AE，
则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β=∠ABO
侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，即γ=∠AEO，
在正四面体A-BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α=90°，
∵sinβ=sin∠ABO=(AO)/(AB)，sinγ=sin∠AEO=(AO)/(AE)，
∵AB＞AE，
∴(AO)/(AB)＜(AO)/(AE)，
即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，
即β＜γ＜α，
故答案为：β＜γ＜α