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已知正四面体A-BCD,设异面直线AB与CD所成的角为α,侧棱AB与底面BCD所成的角为β,侧面ABC与底面BCD所成的角为γ,则比较三者大小.
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已知正四面体A-BCD,设异面直线AB与CD所成的角为α,侧棱AB与底面BCD所成的角为β,侧面ABC与底面BCD所成的角为γ,则比较三者大小______.
▼优质解答
答案和解析
过A作A在底面的射影O,
∵A-BCD是正四面体,
∴0是底面的中心,
取BC的中点E,连结OB,OE,AE,
则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角,即β=∠ABO
侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO,即γ=∠AEO,
在正四面体A-BCD中,AB⊥CD,即异面直线AB与CD所成的角为α=90°,
∵sinβ=sin∠ABO=
,sinγ=sin∠AEO=
,
∵AB>AE,
∴
<
,
即sinβ<sinγ,则β<γ<90°,
即β<γ<α,
故答案为:β<γ<α
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/18/1534604047-4584.jpg)
∵A-BCD是正四面体,
∴0是底面的中心,
取BC的中点E,连结OB,OE,AE,
则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角,即β=∠ABO
侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO,即γ=∠AEO,
在正四面体A-BCD中,AB⊥CD,即异面直线AB与CD所成的角为α=90°,
∵sinβ=sin∠ABO=
AO |
AB |
AO |
AE |
∵AB>AE,
∴
AO |
AB |
AO |
AE |
即sinβ<sinγ,则β<γ<90°,
即β<γ<α,
故答案为:β<γ<α
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