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A是一个n阶实对称矩阵,证明:一定存在n阶正交阵T,使得T逆AT为对角阵,问T与对角阵是否唯一?
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A是一个n阶实对称矩阵,证明:一定存在n阶正交阵T,使得T逆AT为对角阵,问T与对角阵是否唯一?
▼优质解答
答案和解析
一般来讲都不唯一,但是都或多或少地有一定程度的唯一性
对角阵的不唯一性主要来自于对角元的次序
最简单的例子,A=diag(0,1),相应的对角阵可以是A本身,也可以是diag(1,0)
对角阵由特征值决定,特征值的集合是确定的,但是次序不确定,在规定一个次序的情况下可以得到唯一性
正交阵的列是相应的单位特征向量,单位特征向量本身也没有唯一性,比如v是特征向量的情况下-v也一定是特征向量,对于单特征值来讲每一列就这么两种选择
除此之外更大的问题来自重特征值,重特征值的特征向量完全没有唯一性,因为可以取整个特征子空间的任何标准正交基,最简单的例子是A=I,任何正交阵都可以把A对角化
对角阵的不唯一性主要来自于对角元的次序
最简单的例子,A=diag(0,1),相应的对角阵可以是A本身,也可以是diag(1,0)
对角阵由特征值决定,特征值的集合是确定的,但是次序不确定,在规定一个次序的情况下可以得到唯一性
正交阵的列是相应的单位特征向量,单位特征向量本身也没有唯一性,比如v是特征向量的情况下-v也一定是特征向量,对于单特征值来讲每一列就这么两种选择
除此之外更大的问题来自重特征值,重特征值的特征向量完全没有唯一性,因为可以取整个特征子空间的任何标准正交基,最简单的例子是A=I,任何正交阵都可以把A对角化
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