为什么某点海森阵正定,则在该点函数取得最小值?

Question

为什么某点海森阵正定,则在该点函数取得最小值?

Answer 1

只能得到结论：驻点且海森阵正定,该点是局部最小值,即极小值.不一定是全局最小值.
证明很多高数书都有,就是利用Taylor展式：
f(a+h)=f(a)+0.5h^T*Hf(a)*h+小o(||h||^2),
故f(a+h)－f(a)=0.5h^T*Hf(a)*h+小o(||h||^2)>=0.5c||h||^2+小o(||h||^2)
=||h||^2(0.5c+小o(1))>0,当h充分小时.其中c是海森阵的最小特征值,由于正定,故c>0.