设A,B,C均为n阶矩阵,且AB=OAC+C=O如果r(C)+r(B)=n证明A相思雨对角阵,并求出那个对角阵

Question

设A,B,C均为n阶矩阵,且AB=O AC+C=O 如果r(C)+r(B)=n 证明A相思雨对角阵,并求出那个对角阵

Answer 1

设A,B,C均为n阶矩阵,且AB=O AC+C=O 如果r(C)+r(B)=n
证明A相似于对角阵,并求出那个对角阵
证:因为AB=0,所以B的列向量都是AX=0的解
即B的非零列向量都是A的属于特征值0的特征向量
因为 AC+C=0,所以 (A+E)C=0
所以C的列向量都是 (A+E)X=0 的解
即C的非零列向量都是A的属于特征值-1的特征向量
又因为 r(C)+r(B)=n
所以A有n个线性无关的特征向量,故A相似于对角矩阵
且此对角矩阵主对角线上有 r(B)个0,r(C)个-1.