设A、B为同阶非退化阵,满足A^TA=B^TB,试证存在正交阵Q使A=QB

Question

设A、B为同阶非退化阵,满足A^TA=B^TB,试证存在正交阵Q使A=QB

Answer 1

注意到A是正交矩阵AA'=A'A=EA^-1=A' (A'是A的转置,记法方便)
证:由已知A,B可逆,所以 A',B' 可逆
因为 A'A=B'B
所以 A = (A')^-1B'B.
令Q=(A')^-1B',则有 A=QB.
下证Q是正交矩阵.
注意到 (A')^-1 = (A^-1)',所以有
QQ'=[(A')^-1B'][(A')^-1B']'
=[(A')^-1B']B[(A')^-1]'
=(A')^-1B'BA^-1
=(A')^-1A'AA^-1
=(A^-1)'A'E
=(AA^-1)'
=E
故Q为正交矩阵.
命题得证.