三阶魔方总共有多少种可能情况.四阶呢?

Question

三阶魔方总共有多少种可能情况.四阶呢?

Answer 1

三阶魔方的变化数


三阶魔方总的变化数为

约等于4.3×10^19(10的19次方,下同).
原理如下：

六个中心块定好朝向后,就不可以翻转魔方了,而他们正好构成了一个坐标系,在这个坐标系里,8个角色块全排列8!,而每个角色块又有3种朝向,所以是8!×3^8,12个棱色块全排列每个有2种朝向是12!×2^12,这样相乘就是分子.
分母上3×2×2的意义是,保持其他色块不动,不可以单独改变一个角色块朝向,改变一个棱色块朝向,和单独交换一对棱色块或一对角色块的位置,也就是说,对于8个角块,7个角块朝向定好了,第8个角块朝向就定了,所以8个角块的朝向实际上只有3^7种可能性,12个棱块也类似,11个棱块的朝向确定了,第12个也就确定了,所以12个棱块的朝向只有2^11种可能性.另外,就是在角块和棱块的全排列8!×12!里(角块只能和角块交换,棱块只能和棱块交换,所以不是20!),有一半的可能性是不被允许的,也就是不可能由于魔方的正常旋转而达到的.


四阶魔方的变化数


四阶魔方的变化数为

原理如下：
四阶魔方总共有8个角块,24个边块和24个中心块.
其角块的变幻状态和二阶魔方相同,所以总共有8!×37种变化状态.
每种颜色的四个中心块可以不区别位置,所以总共有24!/(4!6)种变化状态.
24个边块不能进行随意换位,而每一组颜色相同的两块边块是有区别的,因为边块关系到两个面的颜色.所以边块的变化总数总共有24!种.
由于在空间变幻中状态相同而颜色不同的状态会被重复计算,所以真正的状态数还应该除以24.