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设A、B为n阶矩阵,且A^2=A,B^2=B,(A-B)^2=A+B.证明：AB=BA=O
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设A、B为n阶矩阵,且A^2=A,B^2=B,(A-B)^2=A+B.证明：AB=BA=O
▼优质解答
答案和解析
证：由已知,(A-B)²=(A-B)*(A-B)=A(A-B)-B(A-B)=A²-AB-BA+B²=A-AB-BA+B=A+B,
所以AB+BA=0,又AB=A²B=(AA)B=A(AB)=A(-BA)=-A(BA)=-(AB)A=(BA)A=B(AA)=BA²=BA,
所以AB=BA=0.
所以AB+BA=0,又AB=A²B=(AA)B=A(AB)=A(-BA)=-A(BA)=-(AB)A=(BA)A=B(AA)=BA²=BA,
所以AB=BA=0.
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