A是n阶方阵,证明：A^2=I的充分必要条件是R(A-I)+R(A+I)=nRT,主要是充分性的证明!

Question

A是n阶方阵,证明：A^2=I 的充分必要条件是 R(A-I)+R(A+I)=n
RT,主要是充分性的证明!

Answer 1

这个就是很纯粹的初等变换
[I-A, 0; 0, I+A]

[I-A, I-A; 0, I+A]

[I-A, I-A; I-A, 2I]

[I-A-(I-A)^2/2, I-A; 0, 2I]

[I-A-(I-A)^2/2, 0; 0, I]
所以rank(I-A)+rank(I+A)=rank(I)+rank(I-A-(I-A)^2/2)=n+rank(I-A-(I-A)^2/2)
计算一下就知道I-A-(I-A)^2/2=0等价于I=A^2