若ABCD都是n阶方阵,A与B合同C与D合同,请问(AO,OC)与(BO,OD)是否相合RT

Question

若A B C D都是n阶方阵,A与B合同 C与D合同,请问(A O,O C)与(B O,O D)是否相合
RT

Answer 1

由A, B合同, 存在可逆矩阵S, 使B = S'AS.
由C, D合同, 存在可逆矩阵T, 使D = T'CT.
考虑矩阵[S,0;0,T], 易知其可逆, 且[S,0;0,T]' = [S',0;0,T'].
于是[S,0;0,T]'·[A,0;0,C]·[S,0;0,T] = [S'AS,0;0,T'CT] = [B,0;0,D].
即得[A,0;0,C]与[B,0;0,D]合同.