一个古怪的数学家,有一个梯子共n级.他在梯子上爬上爬下,每次升a级或降b级,a,b是固定的正整数,如果他能从地面开始,爬到梯子最顶上一级又回到地面,求n的最小值（用a,b表示）答案是a+b-1a,b互

Question

一个古怪的数学家,有一个梯子共n级.他在梯子上爬上爬下,每次升a级或降b级,a,b是固定的正整数,如果他能从地面开始,爬到梯子最顶上一级又回到地面,求n的最小值（用a,b表示）
答案是a+b-1
a,b互质

Answer 1

首先,可以证明a+b-1满足条件.不妨设a>b>1,则只需证明存在正整数x,y满足xa-yb=0并且存在正整数p,q,满足pa-qb=a+b-1,这两个方程分别是能回到地面和能爬到最顶上一级的条件.
显然有a+b-1>a>b,容易知道存在正整数x,y,满足xa-yb=0；第二个方程等价于（p-1）a-qb=b-1,因为a,b互质,所以存在正整数m,n满足ma-nb=1,从而存在满足条件的p,q.综上a+b=1满足条件.
其次证a+b-1是最小的.令不妨b=2,由a,b互质可以知道a>b,且a时奇数.当n=a+b-2=a时,可以满足能够爬到梯子最上一级,然而始终无法回到地面,所以a+b-2就不符合条件.当n