（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-34x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝18x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形A

题目详情

（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-

x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝

x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

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答案和解析

（1）由y=-

x+3，
令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴B点坐标为（-4，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（-4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=

x²+bx+c，可得

2−4b+c＝0

8+8b+c＝3

，
解得：

b＝−

c＝−3

，
故该二次函数解析式为：y=

x²-

x-3．

（2）∵OA=3，OB=4，
∴AC=5．
①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
∵PQ⊥AC，

∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，
∴△APQ∽△CAO，
∴

，即

5−t

，
解得：t=

．
即当点P运动到距离A点

个单位长度处，有PQ⊥AC．
②∵S_{四边形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=

×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：