（2014•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线

Question

（2014•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图1，作∠BAP=∠DAE，AP交BD于P，
设∠CBD=α，∠CAD=β，
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，
∴∠APE=∠ADE，AP=AD．
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β，
∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．
∵∠BAD=3∠CBD，
∴3β=3α，β=α．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β．
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β，
∴∠ACB=∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形；

（2）2MH=FM+(3)/(4)CD．
证明：如图2，
由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，
∴△ABP≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD．
∵AC⊥BD，
∴∠GDN=90°-β，
∵GN=GD，
∴∠GND=∠GDN=90°-β，
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β．
∴∠AGF=∠NGD=2β．
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β．
∵FN平分∠BFM，
∴∠NFM=∠AFG=β，
∴FM∥AE，
∴∠FMN=90°．
∵H为BF的中点，
∴BF=2MH．
在FB上截取FR=FM，连接RM，
∴∠FRM=∠FMR=90°-β．
∵∠ABC=90°-β，
∴∠FRM=∠ABC，
∴RM∥BC，
∴∠CBD=∠RMB．
∵∠CAD=∠CBD=β，
∴∠RMB=∠CAD．
∵∠RBM=∠ACD，
∴△RMB∽△DAC，
∴(BR)/(CD)＝(BM)/(AC)＝(BM)/(AB)＝(3)/(4)，
∴BR=(3)/(4)CD．
∵BR=FB-FM，
∴FB-FM=BR=(3)/(4)CD，
FB=FM+(3)/(4)CD．
∴2MH=FM+(3)/(4)CD．