（2011•桂林模拟）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于．

Question

（2011•桂林模拟）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于______．

Answer 1

设球心为O，如图．
由PA=PD=AB=2，∠APD=120°，可求得AD=2√(3)
在矩形ABCD中，可求得对角线BD=4，故BE=2
由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，
∴OP=OB=R
设OE=x，在直角三角形BOE中，
OB²=BE²+OE²=4+x²
过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，故OH=1
∴在直角三角形POH中，PO²=OH²+PH²=1+（1+x）²
∴4+x²=1+（1+x）²，解得x=1，
∴球的半径R=OB=√(5)
则此球的表面积等于=4πR²=20π．
故答案为：20π．