已知：如图，O的半径为5，P为O外一点，PB、PD与O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．（1）求证：CB=AD；（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．

Question

已知：如图， O的半径为5，P为 O外一点，PB、PD与 O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．

（1）求证：

CB

=

AD

；
（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．

Answer 1

（1）证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，
∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，AE=BE，CF=DF，
在Rt△OBE和Rt△ODF中，

OE=OF

OB=OD

，
∴Rt△OBE≌Rt△ODF，
∴BE=DF，
∴AB=CD，
∴

AB

=

CD

，
∴

AB

+

AC

=

AC

+

CD

，
即

CB

=

AD

；
（2） 在Rt△POE中，∵∠BPO=45°，
∴△POE为等腰直角三角形，
∴OE=PE=PA+AE=1+AE，
而AE=BE，
∴OE=1+BE，
在Rt△BOE中，∵OE²+BE²=OB²，
∴（1+BE）²+BE²=5²，解得BE=-4（舍去）或BE=3，
∴AB=2BE=6．